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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3. Calcule el valor de $a>0$ para que $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}=\frac{35}{12}$.
Respuesta
Para encarar este ejercicio vamos a hacer lo siguiente. Arrancamos calculando la sumatoria de esta serie, igual que como hicimos en los items anteriores:
Reportar problema
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}$
y al final le vamos a pedir al resultado que sea igual a $\frac{35}{12}$ y de ahí despejamos $a$. Vamos con eso, empezamos entonces reescribiendo nuestra serie. Distribuimos el denominador:
$ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a^n} + \frac{2^n}{a^n} \right) $
$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{a^n} $
$ \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n $
Calculamos ahora cada una de estas sumas, usando lo que sabemos que series geométricas. Fijate además que, para que sean convergentes, necesariamente $a$ tiene que ser mayor estricto que $2$ (para que $r<1$ en ambas series)
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-1}{a}} = \frac{a}{a-1} $
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{a-2}{a}} = \frac{a}{a-2}$
Por lo tanto, la suma de la serie nos dio:
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n = \frac{a}{a-1} + \frac{a}{a-2}$
Ahora igualamos este resultado a $\frac{35}{12}$ y despejamos $a$
$\frac{a}{a-1} + \frac{a}{a-2} = \frac{35}{12}$
Reescribimos lo de la izquierda como una única fracción:
$ \frac{2a^2 - 3a}{(a-1)(a-2)} = \frac{35}{12} $
$ \frac{2a^2 - 3a}{a^2 - 3a + 2} = \frac{35}{12} $
Pasamos multiplicando:
$2a^2 - 3a = \frac{35}{12} \cdot (a^2 - 3a + 2)$
$2a^2 - 3a = \frac{35}{12} a^2 - \frac{35}{4}a + \frac{35}{6}$
Dejamos todo igualado a cero:
$0 = \frac{11}{12} a^2 -\frac{23}{4}a + \frac{35}{6}$
Si resolvemos esta cuadrática con la fórmula resolvente, obtenemos dos valores para $a$. Uno es $a=5$ y el otro es un número menor a $2$. Como habíamos deducido al principio, para que nuestras series sean convergentes, necesariamente $a > 2$. Por lo tanto, el único $a$ que hace que nuestra serie converga a $\frac{35}{12}$ es $a = 5$.