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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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3. Calcule el valor de a>0a>0 para que ∑n=0∞1+2nan=3512\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}=\frac{35}{12}.

Respuesta

Para encarar este ejercicio vamos a hacer lo siguiente. Arrancamos calculando la sumatoria de esta serie, igual que como hicimos en los items anteriores:

∑n=0∞1+2nan\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}

y al final le vamos a pedir al resultado que sea igual a 3512\frac{35}{12} y de ahí despejamos aa. Vamos con eso, empezamos entonces reescribiendo nuestra serie. Distribuimos el denominador:

∑n=0∞(1an+2nan) \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{a^n} + \frac{2^n}{a^n} \right)

∑n=0∞1an+∑n=0∞2nan \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{a^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{a^n}

∑n=0∞(1a)n+∑n=0∞(2a)n \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n

Calculamos ahora cada una de estas sumas, usando lo que sabemos que series geométricas. Fijate además que, para que sean convergentes, necesariamente aa tiene que ser mayor estricto que 22 (para que r<1r<1 en ambas series)

∑n=0∞ (1a)n =11−1a=1a−1a=aa−1\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{a}} = \frac{1}{\frac{a-1}{a}} = \frac{a}{a-1}

∑n=0∞ (2a)n= 11−2a=1a−2a=aa−2\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{a}} = \frac{1}{\frac{a-2}{a}} = \frac{a}{a-2}

Por lo tanto, la suma de la serie nos dio:

∑n=0∞ (1a)n+∑n=0∞(2a)n = aa−1+aa−2\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{a})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{a})^n = \frac{a}{a-1} + \frac{a}{a-2}

Ahora igualamos este resultado a 3512\frac{35}{12} y despejamos aa

aa−1+aa−2= 3512\frac{a}{a-1} + \frac{a}{a-2} = \frac{35}{12}

Reescribimos lo de la izquierda como una única fracción:

2a2−3a(a−1)(a−2)=3512 \frac{2a^2 - 3a}{(a-1)(a-2)} = \frac{35}{12}

2a2−3aa2−3a+2=3512 \frac{2a^2 - 3a}{a^2 - 3a + 2} = \frac{35}{12}

Pasamos multiplicando:

2a2−3a= 3512⋅(a2−3a+2)2a^2 - 3a = \frac{35}{12} \cdot (a^2 - 3a + 2)

2a2−3a= 3512a2− 354a+ 3562a^2 - 3a = \frac{35}{12} a^2 - \frac{35}{4}a + \frac{35}{6}

Dejamos todo igualado a cero:

0=1112a2−234a+  3560 = \frac{11}{12} a^2 -\frac{23}{4}a +  \frac{35}{6}

Si resolvemos esta cuadrática con la fórmula resolvente, obtenemos dos valores para aa. Uno es a=5a=5 y el otro es un número menor a 22. Como habíamos deducido al principio, para que nuestras series sean convergentes, necesariamente a>2a > 2. Por lo tanto, el único aa que hace que nuestra serie converga a 3512\frac{35}{12} es a=5a = 5.
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